આપેલ આકૃતિમાં,$OB$ એ રેખાખંડ $DE$ નો લંબદ્વિભાજક છે,$FA \perp OB$ છે,અને $FE$ એ $OB$ ને બિંદુ $C$ પર છેદે છે. સાબિત કરો કે $\frac{1}{OA} + \frac{1}{OB} = \frac{2}{OC}$.

(N/A) $\triangle AOF$ અને $\triangle BOD$ માં:
$\angle O = \angle O$ (સામાન્ય ખૂણો) અને $\angle A = \angle B = 90^{\circ}$.
તેથી,$\triangle AOF \sim \triangle BOD$ ($AA$ સમરૂપતા).
માટે,$\frac{OA}{OB} = \frac{FA}{DB}$ .........$(1)$
વળી,$\triangle FAC$ અને $\triangle EBC$ માં:
$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ અને $\angle FCA = \angle ECB$ (અભિકોણો).
તેથી,$\triangle FAC \sim \triangle EBC$ ($AA$ સમરૂપતા).
માટે,$\frac{FA}{EB} = \frac{AC}{BC}$.
$OB$ એ $DE$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$EB = DB$.
તેથી,$\frac{FA}{DB} = \frac{AC}{BC}$ ......$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AC}{BC} = \frac{OA}{OB}$.
$AC = OC - OA$ અને $BC = OB - OC$ હોવાથી:
$\frac{OC - OA}{OB - OC} = \frac{OA}{OB}$.
$OB(OC - OA) = OA(OB - OC)$.
$OB \cdot OC - OA \cdot OB = OA \cdot OB - OA \cdot OC$.
$OB \cdot OC + OA \cdot OC = 2(OA \cdot OB)$.
બંને બાજુને $(OA \cdot OB \cdot OC)$ વડે ભાગતા:
$\frac{OB \cdot OC}{OA \cdot OB \cdot OC} + \frac{OA \cdot OC}{OA \cdot OB \cdot OC} = \frac{2(OA \cdot OB)}{OA \cdot OB \cdot OC}$.
$\frac{1}{OA} + \frac{1}{OB} = \frac{2}{OC}$.