આકૃતિમાં,રેખાખંડ $DF$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુ $AC$ ને બિંદુ $E$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $\angle AEF = \angle AFE$ છે. સાબિત કરો કે
$\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ માં,$E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $\angle AEF = \angle AFE$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$.
રચના: $AB$ પર એક બિંદુ $G$ લો જેથી $CG \parallel EF$ થાય.
સાબિતી: કારણ કે $E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CE = AE$ $(i)$.
$\triangle ACG$ માં,$CG \parallel EF$ અને $E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$F$ એ $AG$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$GF = AF$ $(ii)$.
$\triangle AEF$ માં,$\angle AEF = \angle AFE$ હોવાથી,$AE = AF$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$CE = AE = AF = GF$. તેથી,$CE = GF$.
હવે,$\triangle BDF$ માં,$CG \parallel EF$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{GF}$ મળે.
$GF = CE$ મૂકતા,આપણને $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$ મળે છે.
આમ,સાબિત થાય છે.