$\Delta ABC$ માં,$B-D-C$ છે. $\angle ADB$ અને $\angle ADC$ ના દ્વિભાજકો $\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $AP \times AQ \times BD \times DC = AD^2 \times PB \times QC$. આના પરથી સાબિત કરો કે જો $\overleftrightarrow{PQ} \parallel \overleftrightarrow{BC}$ હોય,તો $D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(N/A) $1$. $\Delta ADB$ માં,$DP$ એ $\angle ADB$ નો દ્વિભાજક છે. ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\frac{AP}{PB} = \frac{AD}{BD}$,જેનો અર્થ છે કે $AP = \frac{AD \times PB}{BD}$.
$2$. $\Delta ADC$ માં,$DQ$ એ $\angle ADC$ નો દ્વિભાજક છે. ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\frac{AQ}{QC} = \frac{AD}{DC}$,જેનો અર્થ છે કે $AQ = \frac{AD \times QC}{DC}$.
$3$. આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $AP \times AQ = \frac{AD \times PB}{BD} \times \frac{AD \times QC}{DC} = \frac{AD^2 \times PB \times QC}{BD \times DC}$.
$4$. પુનઃગોઠવણી કરતા $AP \times AQ \times BD \times DC = AD^2 \times PB \times QC$ મળે છે.
$5$. જો $\overleftrightarrow{PQ} \parallel \overleftrightarrow{BC}$ હોય,તો $\Delta ABC$ માં પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ થાય.
$6$. ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\frac{AP}{PB} = \frac{AD}{BD}$ અને $\frac{AQ}{QC} = \frac{AD}{DC}$ છે.
$7$. તેથી,$\frac{AD}{BD} = \frac{AD}{DC}$,જેનો અર્થ છે કે $BD = DC$. આમ,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.