$\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ और बिंदु $D$ तथा $E$,$\overline{BC}$ को समत्रिभाजित करते हैं। सिद्ध कीजिए कि $8AE^{2} - 3AC^{2} = 5AB^{2}$।

(N/A) माना कि $BC$ को बिंदु $D$ और $E$ द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है। माना $BD = DE = EC = x$ है। अतः $BE = 2x$ और $BC = 3x$ होगा।
समकोण $\Delta ABE$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AE^{2} = AB^{2} + BE^{2} = AB^{2} + (2x)^{2} = AB^{2} + 4x^{2}$।
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर: $8AE^{2} = 8AB^{2} + 32x^{2}$।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = AB^{2} + (3x)^{2} = AB^{2} + 9x^{2}$।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर: $3AC^{2} = 3AB^{2} + 27x^{2}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $8AE^{2} - 3AC^{2} = (8AB^{2} + 32x^{2}) - (3AB^{2} + 27x^{2}) = 5AB^{2} + 5x^{2}$।
चूंकि $DE = x$ है,इसलिए $DE^{2} = x^{2}$ होगा। अतः,$8AE^{2} - 3AC^{2} = 5AB^{2} + 5DE^{2}$।