$\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{AD}$ एक माध्यिका है। सिद्ध कीजिए कि $AC^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$।

(A) $1$. $\Delta ABC$ में,चूँकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ (समीकरण $1$)।
$2$. चूँकि $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,जिसका अर्थ है $BC = 2BD$।
$3$. $\Delta ABD$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$।
$4$. $BD^{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ प्राप्त होता है।
$5$. $BC = 2BD$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$।
$6$. $BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $AC^{2} = AB^{2} + 4(AD^{2} - AB^{2})$।
$7$. सरल करने पर: $AC^{2} = AB^{2} + 4AD^{2} - 4AB^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$।
$8$. अतः,$AC^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$ सिद्ध हुआ।