$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD}$ મધ્યગા છે. સાબિત કરો કે $AC^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$.

(A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ (સમીકરણ $1$).
$2$. $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,જેનો અર્થ છે કે $BC = 2BD$.
$3$. $\Delta ABD$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$.
$4$. $BD^{2}$ ને કર્તા બનાવતા,$BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ મળે.
$5$. $BC = 2BD$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$.
$6$. $BD^{2} = AD^{2} - AB^{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $AC^{2} = AB^{2} + 4(AD^{2} - AB^{2})$.
$7$. સાદું રૂપ આપતા: $AC^{2} = AB^{2} + 4AD^{2} - 4AB^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$.
$8$. આમ,$AC^{2} = 4AD^{2} - 3AB^{2}$ સાબિત થાય છે.