Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesMix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles
Medium$\triangle ABC$ में,$AD$ एक माध्यिका है। $E$,$BD$ का मध्य-बिंदु है और $O$,$AE$ का मध्य-बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि $ar(AOB) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.
(N/A) $1$. चूंकि $AD$,$\triangle ABC$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इसलिए,$ar(ABD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. $\triangle ABD$ में,$AE$ एक माध्यिका है क्योंकि $E$,$BD$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$ar(ABE) = \frac{1}{2} ar(ABD)$.
$3$. चरण $1$ से मान प्रतिस्थापित करने पर: $ar(ABE) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} ar(ABC)) = \frac{1}{4} ar(ABC)$.
$4$. $\triangle ABE$ में,$BO$ एक माध्यिका है क्योंकि $O$,$AE$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$ar(AOB) = \frac{1}{2} ar(ABE)$.
$5$. चरण $3$ से मान प्रतिस्थापित करने पर: $ar(AOB) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} ar(ABC)) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.
$6$. अतः,यह सिद्ध होता है कि $ar(AOB) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.
$2$. $\triangle ABD$ में,$AE$ एक माध्यिका है क्योंकि $E$,$BD$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$ar(ABE) = \frac{1}{2} ar(ABD)$.
$3$. चरण $1$ से मान प्रतिस्थापित करने पर: $ar(ABE) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} ar(ABC)) = \frac{1}{4} ar(ABC)$.
$4$. $\triangle ABE$ में,$BO$ एक माध्यिका है क्योंकि $O$,$AE$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$ar(AOB) = \frac{1}{2} ar(ABE)$.
$5$. चरण $3$ से मान प्रतिस्थापित करने पर: $ar(AOB) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} ar(ABC)) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.
$6$. अतः,यह सिद्ध होता है कि $ar(AOB) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.
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$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $BC$ को एक बिंदु $Q$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $AD = CQ$ है। यदि $AQ$,$DC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(BPC) = \operatorname{ar}(DPQ)$ है।
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