mathbb{R}^3 में,मान लीजिए L मूल बिंदु से गुजर | vedclass

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Question

(A) रेखा $L$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती है और समतलों $P_1$ और $P_2$ से समान दूरी पर है। अतः,$L$ को $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर

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$(A, B)$

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(A) रेखा $L$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती है और समतलों $P_1$ और $P_2$ से समान दूरी पर है। अतः,$L$ को $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर होना चाहिए।मान लीजिए $L$ के दिक-अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूँकि $L$,$P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन के समानांतर है,इसका दिक-सदिश $\vec{n}_1 	imes \vec{n}_2$ के समानांतर है,जहाँ $\vec{n}_1 = (1, 2, -1)$ और $\vec{n}_2 = (2, -1, 1)$ है।$\vec{n}_1 	imes \vec{n}_2 = (1, -3, -5)$ है।अतः,रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-5} = k$ है।$M$,$L$ पर स्थित बिंदुओं से समतल $P_1$ पर लंबों के पाद का बिंदु-पथ है। यह समतल $P_1$ पर रेखा $L$ का प्रक्षेप है।रेखा का समतल पर प्रक्षेप एक रेखा होती है। $L$ पर $k=0$ के लिए बिंदु $(0, 0, 0)$ है। मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P_1: x+2y-z+1=0$ पर लंब का पाद $\left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}ight)$ है,जो बिंदु $(B)$ है।चूँकि $M$,$(B)$ से गुजरने वाली एक रेखा है,दिए गए बिंदुओं की जाँच करने पर यह ज्ञात होता है कि बिंदु $(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}ight)$ समतल $P_1$ पर स्थित है और यह $M$ पर भी स्थित है।

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रेखा $\vec{r} = (2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $P(1, -2, 1)$ की समतल $x + 2y - 2z = \alpha$ से दूरी, जहाँ $\alpha > 0$, $5$ है, तो $P$ से समतल पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z + 2}{2}$ समतल $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ में स्थित है। तो $(\alpha, \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $x = 1 + s, y = -3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ और $x = t/2, y = 1 + t, z = 2 - t$,जहाँ $s$ और $t$ क्रमशः प्राचल हैं,समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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