एक चुनाव में $5$ उम्मीदवार हैं और $3$ रिक्त स्थान हैं। एक मतदाता अधिकतम $3$ उम्मीदवारों को वोट दे सकता है,तो वह कितने तरीकों से वोट दे सकता है?

$3$ प्रशिक्षुओं,$4$ प्रोफेसरों और $6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में $2$ प्रशिक्षु और $3$ अनुसंधान सहयोगी होने चाहिए,तो इसे कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

एक पार्टी में $15$ व्यक्ति हैं और प्रत्येक व्यक्ति अन्य सभी व्यक्तियों के साथ एक बार हाथ मिलाता है,तो कुल हैंडशेक की संख्या क्या होगी?

'$DETAIL$' शब्द के अक्षरों को कितनी अलग-अलग तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है कि स्वर केवल विषम स्थानों पर ही आएं?

$5$ पुरुषों और $4$ महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना है कि महिलाएं सम स्थानों पर बैठें। ऐसी कितनी व्यवस्थाएं संभव हैं?

'$MATHEMATICS$' शब्द के चार अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?