एक परीक्षा में,$10$ सही-गलत प्रकार के प्रश्न हैं। $10$ में से,एक छात्र $4$ प्रश्नों के उत्तर $\frac{3}{4}$ प्रायिकता के साथ और शेष $6$ प्रश्नों के उत्तर $\frac{1}{4}$ प्रायिकता के साथ सही अनुमानित कर सकता है। यदि छात्र द्वारा $10$ में से ठीक $8$ प्रश्नों के उत्तर सही अनुमानित करने की प्रायिकता $\frac{27 k}{4^{10}}$ है,तो $k$ का मान है

मान लीजिए $C_1$ और $C_2$ दो पक्षपाती सिक्के हैं,इस प्रकार कि एक बार उछालने पर चित (head) आने की प्रायिकता क्रमशः $\frac{2}{3}$ और $\frac{1}{3}$ है। मान लीजिए $\alpha$ चितों की संख्या है जो तब आती है जब $C_1$ को दो बार स्वतंत्र रूप से उछाला जाता है,और $\beta$ चितों की संख्या है जो तब आती है जब $C_2$ को दो बार स्वतंत्र रूप से उछाला जाता है। तो द्विघात बहुपद $x^2 - \alpha x + \beta$ के मूल वास्तविक और समान होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

यदि $X$ प्राचलों $n=6$ और $p$ के साथ द्विपद वितरण (Binomial distribution) का पालन करता है और $9 P(X=4) = P(X=2)$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रवेश परीक्षा की प्रारंभिक स्क्रीनिंग के लिए,एक उम्मीदवार को हल करने के लिए $50$ समस्याएं दी जाती हैं। यदि उम्मीदवार द्वारा किसी भी समस्या को हल करने की प्रायिकता $\frac{4}{5}$ है,तो उसके द्वारा दो से कम समस्याओं को हल करने में असमर्थ होने की प्रायिकता क्या है?

पासे के एक जोड़े को $6$ बार उछाला जाता है। $4$ के ठीक सात बार आने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $X \sim B(n, p)$ है। यदि $E(X) = 2$ और $Var(X) = 1$ है, तो अधिकतम एक सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी?