કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2}$ નું મૂલ્ય શોધો.

ત્રિકોણ $ABC$ માં,જો $\cos A + 2 \cos B + \cos C = 2$ હોય અને ખૂણા $A$ અને $C$ ની સામેની બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે $3$ અને $7$ હોય,તો $\cos A - \cos C$ ની કિંમત શોધો.

ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\angle B = \frac{\pi}{3}$ અને $\angle C = \frac{\pi}{4}$ છે,અને $D$ એ $BC$ નું $1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. તો $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}$ ની કિંમત શોધો.

$\triangle ABC$ માં,જો $\angle C = 90^{\circ}$ અને $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin(A-B) = 1$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

વિધાન-$I$: અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,સમીકરણો $2 \sin^2 \theta - \cos 2\theta = 0$ અને $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ ના સામાન્ય ઉકેલોની સંખ્યા બે છે.
વિધાન-$II$: $[0, \pi]$ માં $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા બે છે.

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ $a \cos x + b \sin x = c$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના ભિન્ન મૂલ્યો હોય,તો $\tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = $