ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\angle B = \frac{\pi}{3}$ અને $\angle C = \frac{\pi}{4}$ છે,અને $D$ એ $BC$ નું $1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. તો $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}$ ની કિંમત શોધો.

એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની પરિત્રિજ્યા $R$ એ તેની અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા ચાર ગણી છે. જો $A = B$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો $7 \cos \theta - \sin \theta = 5$ અને $\tan \theta > 0$ હોય,તો $\tan \theta =$

એક ટાવર $AB$ પશ્ચિમ તરફ નમેલો છે અને શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. ટાવરના સૌથી ઉપરના બિંદુ $B$ નો ઉત્સેધકોણ,$A$ થી $d$ અંતરે પૂર્વમાં આવેલા બિંદુ $C$ પરથી જોતા $\beta$ છે. જો $C$ થી $2d$ અંતરે પૂર્વમાં આવેલા બિંદુ $D$ પરથી $B$ નો ઉત્સેધકોણ $\gamma$ હોય,તો $2\tan \alpha$ ને કેવી રીતે દર્શાવી શકાય?

એક અકાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ માં, ધારો કે $p, q, r$ એ અનુક્રમે $P, Q, R$ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓની લંબાઈ દર્શાવે છે. $R$ માંથી દોરેલી મધ્યગા બાજુ $PQ$ ને $S$ માં મળે છે, $P$ માંથી દોરેલો લંબ બાજુ $QR$ ને $E$ માં મળે છે, અને $RS$ તથા $PE$ એ $O$ માં છેદે છે. જો $p=\sqrt{3}, q=1$, અને $\triangle PQR$ ના પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $1$ હોય, તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $\triangle SOE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ ના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ ની લંબાઈ $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ ની લંબાઈ $= \frac{1}{6}$

$a$ ની કઈ કિંમતો માટે સમીકરણ $\cos\, 2x + a\, \sin\, x = 2a - 7$ નો ઉકેલ મળે છે?