निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति में,बताइए कि क्या फलन एकैकी (one-one),आच्छादक (onto) या आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए। $f : R \rightarrow R$ जो $f(x) = 1 + x^2$ द्वारा परिभाषित है।

(D) फलन $f : R \rightarrow R$ को $f(x) = 1 + x^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए:
मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$।
$\Rightarrow 1 + x_1^2 = 1 + x_2^2$
$\Rightarrow x_1^2 = x_2^2$
$\Rightarrow x_1 = \pm x_2$।
चूँकि $f(1) = 1 + (1)^2 = 2$ और $f(-1) = 1 + (-1)^2 = 2$ है,इसलिए $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$।
अतः,$f$ एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए:
सह-प्रांत $R$ में एक अवयव $-2$ पर विचार करें।
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $f(x) = 1 + x^2 \geq 1$ होगा।
इस प्रकार,प्रांत $R$ में ऐसा कोई $x$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $f(x) = -2$ हो।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष:
चूँकि फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक,इसलिए यह आच्छादी (bijective) नहीं है।