आकृति में,$PR > PQ$ और $PS$,$\angle QPR$ को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि $\angle PSR > \angle PSQ$ है।
(N/A) $\Delta PQR$ में,$PS$,$\angle QPR$ का समद्विभाजक है [दिया है]।
इसलिए,$\angle QPS = \angle RPS$।
चूंकि $PR > PQ$ [दिया है],
इसलिए,$PR$ के सम्मुख कोण,$PQ$ के सम्मुख कोण से बड़ा होगा।
अतः,$\angle PQS > \angle PRS$।
बाईं ओर $\angle QPS$ और दाईं ओर $\angle RPS$ जोड़ने पर (चूंकि $\angle QPS = \angle RPS$):
$\angle PQS + \angle QPS > \angle PRS + \angle RPS$ ... $(1)$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta PQS$ के लिए,बहिष्कोण $\angle PSR = \angle PQS + \angle QPS$।
$\Delta PRS$ के लिए,बहिष्कोण $\angle PSQ = \angle PRS + \angle RPS$।
इन मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle PSR > \angle PSQ$।
इसलिए,$\angle QPS = \angle RPS$।
चूंकि $PR > PQ$ [दिया है],
इसलिए,$PR$ के सम्मुख कोण,$PQ$ के सम्मुख कोण से बड़ा होगा।
अतः,$\angle PQS > \angle PRS$।
बाईं ओर $\angle QPS$ और दाईं ओर $\angle RPS$ जोड़ने पर (चूंकि $\angle QPS = \angle RPS$):
$\angle PQS + \angle QPS > \angle PRS + \angle RPS$ ... $(1)$।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
$\Delta PQS$ के लिए,बहिष्कोण $\angle PSR = \angle PQS + \angle QPS$।
$\Delta PRS$ के लिए,बहिष्कोण $\angle PSQ = \angle PRS + \angle RPS$।
इन मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\angle PSR > \angle PSQ$।
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$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
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