આકૃતિમાં,$AD$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની મધ્યગા છે અને $AM \perp BC$ છે. સાબિત કરો કે $AC^{2} = AD^{2} + BC \cdot DM + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2}$.

(N/A) $\Delta AMD$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$AM^{2} + MD^{2} = AD^{2} \dots(1)$
$\Delta AMC$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$AM^{2} + MC^{2} = AC^{2}$
કારણ કે $MC = MD + DC$,તેથી:
$AM^{2} + (MD + DC)^{2} = AC^{2}$
$AM^{2} + MD^{2} + DC^{2} + 2MD \cdot DC = AC^{2}$
સમીકરણ $(1)$ પરથી $AM^{2} + MD^{2} = AD^{2}$ મૂકતા:
$AD^{2} + DC^{2} + 2MD \cdot DC = AC^{2}$
$AD$ એ મધ્યગા હોવાથી,$DC = \frac{BC}{2}$ થાય. આ કિંમત મૂકતા:
$AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} + 2MD \cdot \left(\frac{BC}{2}\right) = AC^{2}$
$AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} + BC \cdot DM = AC^{2}$
આમ,$AC^{2} = AD^{2} + BC \cdot DM + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2}$ સાબિત થાય છે.