आकृति में,$AD$ एक त्रिभुज $ABC$ की माध्यिका है और $AM \perp BC$ है। सिद्ध कीजिए कि $AC^{2} = AD^{2} + BC \cdot DM + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2}$।

(N/A) $\Delta AMD$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM^{2} + MD^{2} = AD^{2} \dots(1)$
$\Delta AMC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AM^{2} + MC^{2} = AC^{2}$
चूँकि $MC = MD + DC$,इसलिए:
$AM^{2} + (MD + DC)^{2} = AC^{2}$
$AM^{2} + MD^{2} + DC^{2} + 2MD \cdot DC = AC^{2}$
समीकरण $(1)$ से $AM^{2} + MD^{2} = AD^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$AD^{2} + DC^{2} + 2MD \cdot DC = AC^{2}$
चूँकि $AD$ एक माध्यिका है,$DC = \frac{BC}{2}$। यह मान रखने पर:
$AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} + 2MD \cdot \left(\frac{BC}{2}\right) = AC^{2}$
$AD^{2} + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2} + BC \cdot DM = AC^{2}$
अतः,$AC^{2} = AD^{2} + BC \cdot DM + \left(\frac{BC}{2}\right)^{2}$ सिद्ध होता है।