આકૃતિમાં,રેખાખંડ $XY$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુ $AC$ ને સમાંતર છે અને તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. ગુણોત્તર $\frac{AX}{AB}$ શોધો.

(D) અહીં $XY \parallel AC$ આપેલ છે.
$\angle BXY = \angle A$ અને $\angle BYX = \angle C$ (અનુકોણ).
તેથી,$\Delta ABC \sim \Delta XBY$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત).
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \left(\frac{AB}{XB}\right)^2$ (સમરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરનું પ્રમેય).
$XY$ ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(XBY)$.
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \frac{2}{1}$.
તેથી,$\left(\frac{AB}{XB}\right)^2 = \frac{2}{1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{AB}{XB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{XB}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\frac{AX}{AB} = \frac{AB - XB}{AB} = 1 - \frac{XB}{AB} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$\frac{AX}{AB} = \frac{(\sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$.