आकृति में,रेखाखंड $XY$,$\Delta ABC$ की भुजा $AC$ के समांतर है और यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। अनुपात $\frac{AX}{AB}$ ज्ञात कीजिए।

(D) हमें दिया गया है कि $XY \parallel AC$ है।
$\angle BXY = \angle A$ और $\angle BYX = \angle C$ (संगत कोण)।
अतः,$\Delta ABC \sim \Delta XBY$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \left(\frac{AB}{XB}\right)^2$ (समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात का प्रमेय)।
चूंकि $XY$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है,इसलिए $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(XBY)$ है।
$\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(XBY)} = \frac{2}{1}$।
अतः,$\left(\frac{AB}{XB}\right)^2 = \frac{2}{1}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{AB}{XB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{XB}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अब,$\frac{AX}{AB} = \frac{AB - XB}{AB} = 1 - \frac{XB}{AB} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर,$\frac{AX}{AB} = \frac{(\sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$।