મ્યુનિસિપલ કોર્પોરેશનના $12$ સભ્યોમાંથી એક કે તેથી વધુ સભ્યોની સમિતિ કેટલી રીતે બનાવી શકાય?

જો $\binom{n+1}{3} = 2 \times \binom{n}{2}$ હોય,તો $n = \dots$

$9$ સ્ત્રીઓ અને $8$ પુરુષોમાંથી $12$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે,જેમાં ઓછામાં ઓછી $5$ સ્ત્રીઓ હોય. તો સ્ત્રીઓ બહુમતીમાં હોય તેવી સમિતિઓની સંખ્યા અને પુરુષો બહુમતીમાં હોય તેવી સમિતિઓની સંખ્યા અનુક્રમે શોધો.

દુકાનમાં $5$ પ્રકારની આઈસ્ક્રીમ ઉપલબ્ધ છે. એક બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદે છે.
વિધાન-$1$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ $^{10}C_5$ રીતે ખરીદી શકે છે.
વિધાન-$2$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તે રીતોની સંખ્યા એ $6$ '$A$' અને $4$ '$B$' ને હારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે.

જો ${}^{n-1}C_3 + {}^{n-1}C_4 > {}^{n}C_3$ હોય, તો $n$ એ કયા પૂર્ણાંક કરતા સહેજ મોટો છે?

$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેથી ${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 > { }^n C_3$ થાય.