$10$ સભ્યોમાંથી $6$ સભ્યોની સમિતિ કેટલી રીતે બનાવી શકાય,જેમાં હંમેશા એક ચોક્કસ સભ્યનો સમાવેશ થાય?

$n$ દડાઓ છે,દરેકનું વજન $w$ છે. જ્યારે તેમને જોડીમાં તોલવામાં આવે છે,ત્યારે તમામ શક્ય જોડીઓના વજનનો સરવાળો $120$ થાય છે. જ્યારે તેમને ત્રણની જોડીમાં તોલવામાં આવે છે,ત્યારે તમામ શક્ય ત્રિપુટીઓના વજનનો સરવાળો $480$ થાય છે. તો $n$ ની કિંમત શોધો.

એક દુકાનમાં $5$ પ્રકારની આઈસ્ક્રીમ ઉપલબ્ધ છે. એક બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદે છે.
$\text{વિધાન}-1$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તેવા વિવિધ રસ્તાઓની સંખ્યા $^{10}C_5$ છે.
$\text{વિધાન}-2$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તેવા વિવિધ રસ્તાઓની સંખ્યા એ હરોળમાં $6$ $A$ અને $4$ $B$ ને ગોઠવવાના વિવિધ રસ્તાઓની સંખ્યા જેટલી છે.

$^{n-1}C_r = (k^2 - 8) ^nC_{r+1}$ જો અને માત્ર જો:

$r$ ની કઈ કિંમત માટે $^{15}C_{r+3} = ^{15}C_{2r-6}$ થાય?

$6$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ વ્યક્તિઓનું જૂથ કેટલી રીતે બનાવી શકાય કે જેથી છોકરાઓ બહુમતીમાં હોય?