'$MATHEMATICS$' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,जब सभी स्वर एक साथ आएं?

एक व्यक्ति के $10$ मित्र हैं। वह उनमें से एक या अधिक को कितनी तरह से पार्टी में आमंत्रित कर सकता है?

$12345$ के सभी अंकों की ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें कम से कम $3$ अंक अपने मूल स्थानों पर न आएं।

$12$ रिक्तियों को भरने के लिए $25$ उम्मीदवार हैं,जिनमें से $5$ अनुसूचित जाति के हैं। यदि $3$ रिक्तियां अनुसूचित जाति के उम्मीदवारों के लिए आरक्षित हैं जबकि शेष सभी के लिए खुली हैं,तो चयन करने के तरीकों की संख्या क्या है?

$6$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से,$7$ सदस्यों का एक समूह बनाया जाना है। यदि समूह में लड़कों का बहुमत हो,तो यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,इस प्रकार कि उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने होंगे। उसके पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है