12345 के सभी अंकों की ऐसी व्यवस्थाओं की संख्य | vedclass

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Question

(B) $5$ अलग-अलग अंकों की कुल व्यवस्थाओं की संख्या $5! = 120$ है।हमें उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम $3$ अंक अपने मूल स्थानों पर

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$109$

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(B) $5$ अलग-अलग अंकों की कुल व्यवस्थाओं की संख्या $5! = 120$ है।हमें उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम $3$ अंक अपने मूल स्थानों पर नहीं आते हैं।मान लीजिए $S$ सभी क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है। हम विन्यास (derangement) $(D_n)$ के सिद्धांत का उपयोग करते हैं।$k$ अंकों को चुनने के तरीके जो अपने मूल स्थानों पर नहीं हैं,$\binom{5}{k} 	imes D_k$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $D_k$,$k$ वस्तुओं के विन्यास की संख्या है।$k=3$ के लिए: $\binom{5}{3} 	imes D_3 = 10 	imes 2 = 20$.$k=4$ के लिए: $\binom{5}{4} 	imes D_4 = 5 	imes 9 = 45$.$k=5$ के लिए: $\binom{5}{5} 	imes D_5 = 1 	imes 44 = 44$.कुल व्यवस्थाएं = $20 + 45 + 44 = 109$.

$12345$ के सभी अंकों की ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें कम से कम $3$ अंक अपने मूल स्थानों पर न आएं।

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