સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,વિકર્ણ $PR$ એ $\angle P$ ને દુભાગે છે. સાબિત કરો કે વિકર્ણ $PR$ એ $\angle R$ ને પણ દુભાગે છે અને $PQRS$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં વિકર્ણ $PR$ એ $\angle P$ ને દુભાગે છે,એટલે કે $\angle SPR = \angle QPR$.
પગલું $1$: $PQRS$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$PS \parallel QR$ અને $PQ \parallel SR$ થાય.
પગલું $2$: $PS \parallel QR$ અને $PR$ છેદિકા હોવાથી,$\angle SPR = \angle PRQ$ (યુગ્મકોણ).
પગલું $3$: $PQ \parallel SR$ અને $PR$ છેદિકા હોવાથી,$\angle QPR = \angle PRS$ (યુગ્મકોણ).
પગલું $4$: $\angle SPR = \angle QPR$ આપેલ હોવાથી,$\angle PRQ = \angle PRS$ થાય. આમ,$PR$ એ $\angle R$ ને દુભાગે છે.
પગલું $5$: $\triangle PQR$ અને $\triangle PSR$ માં,$\angle QPR = \angle SPR$ અને $\angle PRQ = \angle PRS$ છે. $PR = PR$ (સામાન્ય બાજુ) હોવાથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ બંને ત્રિકોણ એકરૂપ છે.
પગલું $6$: $CPCT$ મુજબ,$PQ = PS$ થાય. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,$PQRS$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.