દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિમાં,બધા કણો કયા વેગ સાથે ગતિ કરે છે?

એક ગોળો તેના વ્યાસની આસપાસ ભ્રમણ કરી રહ્યો છે.

$L$ લંબાઈ અને અવગણ્ય દળ ધરાવતા સખત સળિયાના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર બિંદુવત દળો $m_1$ અને $m_2$ મૂકવામાં આવ્યા છે. સળિયાને તેને લંબ અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરાવવાનું છે. સળિયા પરના બિંદુ $P$ નું સ્થાન,જેમાંથી અક્ષ પસાર થવી જોઈએ જેથી સળિયાને $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ભ્રમણ કરાવવા માટે જરૂરી કાર્ય ન્યૂનતમ હોય,તે નીચે મુજબ છે:

આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્પૂલને ખરબચડી આડી સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે અને તેની આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $R$ છે. લાગુ પાડવામાં આવેલા બળ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ બદલી શકાય છે. જે ક્રાંતિક ખૂણા $\theta$ માટે સ્પૂલ ગબડતી નથી અને સ્થિર રહે છે તે નીચે મુજબ છે:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $m$ દળની એક રીંગ દળરહિત વક્ર સળિયા પર મુક્તપણે સરકી શકે છે. સૌથી નીચેના બિંદુએ,વક્ર માર્ગ શિરોલંબ બને છે. જો આખી સિસ્ટમને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે,તો બ્લોક $M$ ને સ્પર્શતા પહેલા સૌથી નીચેના બિંદુએ રીંગનો વેગ $(v)$ કેટલો હશે? (બધી સપાટીઓ લીસી છે)

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $M = 4\,kg$ દળ અને $R = 10\,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમાન તકતીને નિશ્ચિત આડા ધરી પર લગાવવામાં આવી છે. $m = 2\,kg$ દળનો એક બ્લોક વજનરહિત દોરી સાથે લટકે છે જે તકતીની કિનારી પર વીંટાળેલી છે. બ્લોકના પતન દરમિયાન,દોરી લપસતી નથી અને ધરી પર કોઈ ઘર્ષણ નથી. દોરીમાં તણાવ . . . . . . $N$ છે. ($g = 10\,m/s^2$ લો)