निम्नलिखित स्थितियों में,निर्धारित कीजिए कि क्या दिए गए समतल समांतर हैं या लंबवत हैं,और यदि वे न तो समांतर हैं और न ही लंबवत,तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए: $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ और $3x - 3y + 6z - 1 = 0$.

(A) समतलों $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के अभिलंबों के दिक-अनुपात क्रमशः $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो $L_1 \parallel L_2$ होता है।
यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो,तो $L_1 \perp L_2$ होता है।
$L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.
दिए गए समतलों $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ और $3x - 3y + 6z - 1 = 0$ के लिए:
$a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = 4$ और $a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = 6$ है।
समांतरता की जाँच करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3}$ है,अतः दिए गए समतल एक-दूसरे के समांतर हैं।