નીચેના કિસ્સાઓમાં,આપેલા સમતલો સમાંતર છે કે લંબ છે તે નક્કી કરો,અને જો તે બંનેમાંથી એક પણ ન હોય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો શોધો: $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ અને $3x - 3y + 6z - 1 = 0$.

(A) સમતલો $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ ના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર અનુક્રમે $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ છે.
જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો $L_1 \parallel L_2$ થાય.
જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ હોય,તો $L_1 \perp L_2$ થાય.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.
આપેલા સમતલો $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ અને $3x - 3y + 6z - 1 = 0$ માટે:
$a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = 4$ અને $a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = 6$.
સમાંતરતા તપાસતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}, \frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3}$ હોવાથી,આપેલા સમતલો એકબીજાને સમાંતર છે.