त्रिभुज ABC में,sin 2A + sin 2B + sin 2C का म | vedclass

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Question

(A) त्रिभुज $ABC$ में,$A + B + C = 180^\circ$ होता है।व्यंजक $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ पर विचार करें।योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin X + \sin Y = 2\sin(

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$4\sin A \sin B \sin C$

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(A) त्रिभुज $ABC$ में,$A + B + C = 180^\circ$ होता है।व्यंजक $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ पर विचार करें।योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin X + \sin Y = 2\sin(\frac{X+Y}{2})\cos(\frac{X-Y}{2})$ का उपयोग करने पर:$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin(A+B)\cos(A-B)$.चूंकि $A+B = 180^\circ - C$,इसलिए $\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C$ होगा।अतः,$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin C \cos(A-B)$.अब,$\sin 2C = 2\sin C \cos C$.चूंकि $C = 180^\circ - (A+B)$,इसलिए $\cos C = \cos(180^\circ - (A+B)) = -\cos(A+B)$ होगा।अतः,$\sin 2C = -2\sin C \cos(A+B)$.इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin C \cos(A-B) - 2\sin C \cos(A+B)$$= 2\sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.सर्वसमिका $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:$= 2\sin C [2\sin A \sin B] = 4\sin A \sin B \sin C$.

त्रिभुज $ABC$ में,$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ का मान किसके बराबर है?

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