फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{6x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}}$

(N/A) हमारे पास $\frac{6x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}} = \frac{6x+7}{\sqrt{x^2-9x+20}}$ है।
माना $6x+7 = A\frac{d}{dx}(x^2-9x+20) + B$.
$6x+7 = A(2x-9) + B$.
$x$ के गुणांकों और अचर पद की तुलना करने पर,हमें $2A = 6 \Rightarrow A = 3$ और $-9A + B = 7 \Rightarrow -27 + B = 7 \Rightarrow B = 34$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int \frac{6x+7}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx = \int \frac{3(2x-9) + 34}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx = 3 \int \frac{2x-9}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx + 34 \int \frac{1}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx$.
माना $I_1 = \int \frac{2x-9}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx$. $t = x^2-9x+20$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = (2x-9)dx$,जिससे $I_1 = \int t^{-1/2} dt = 2\sqrt{t} = 2\sqrt{x^2-9x+20}$ प्राप्त होता है।
माना $I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx$. पूर्ण वर्ग बनाने पर,$x^2-9x+20 = (x-\frac{9}{2})^2 - \frac{1}{4} = (x-\frac{9}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$.
सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \log|x + \sqrt{x^2-a^2}|$ का उपयोग करने पर,$I_2 = \log|x-\frac{9}{2} + \sqrt{x^2-9x+20}|$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल समाकलन $6\sqrt{x^2-9x+20} + 34\log|x-\frac{9}{2} + \sqrt{x^2-9x+20}| + C$ है।