फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{x+2}{\sqrt{4x-x^2}}$

(N/A) माना $x+2 = A \frac{d}{dx}(4x-x^2) + B$.
$\Rightarrow x+2 = A(4-2x) + B$.
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पद की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-2A = 1 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$.
$4A + B = 2 \Rightarrow B = 4$.
अतः,$x+2 = -\frac{1}{2}(4-2x) + 4$.
इसलिए,$\int \frac{x+2}{\sqrt{4x-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}(4-2x) + 4}{\sqrt{4x-x^2}} dx$.
$= -\frac{1}{2} \int \frac{4-2x}{\sqrt{4x-x^2}} dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx$.
माना $I_1 = \int \frac{4-2x}{\sqrt{4x-x^2}} dx$ और $I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx$.
अतः,समाकलन $-\frac{1}{2}I_1 + 4I_2$ है $(1)$.
$I_1$ के लिए,माना $4x-x^2 = t$,तो $(4-2x)dx = dt$.
$I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\sqrt{t} = 2\sqrt{4x-x^2}$ $(2)$.
$I_2$ के लिए,$4x-x^2 = -(x^2-4x) = -(x^2-4x+4-4) = 4-(x-2)^2 = (2)^2-(x-2)^2$.
$I_2 = \int \frac{dx}{\sqrt{(2)^2-(x-2)^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)$ $(3)$.
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= -\frac{1}{2}(2\sqrt{4x-x^2}) + 4\sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C$.
$= -\sqrt{4x-x^2} + 4\sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।