फलन का समाकलन कीजिए: $\sqrt{x^{2}+4x+1}$

माना $I = \int \sqrt{x^{2}+4x+1} \, dx$.
सबसे पहले,द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:
$x^{2}+4x+1 = (x^{2}+4x+4)-3 = (x+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}$.
अतः,$I = \int \sqrt{(x+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}} \, dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x$ को $(x+2)$ से और $a = \sqrt{3}$ से प्रतिस्थापित किया गया है:
$I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{(x+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}} - \frac{3}{2} \ln |(x+2) + \sqrt{(x+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}| + C$.
व्यंजक को वापस मूल रूप में सरल करने पर:
$I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{x^{2}+4x+1} - \frac{3}{2} \ln |(x+2) + \sqrt{x^{2}+4x+1}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।