रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) क्या है?

मूल बिंदु से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए,यदि यह दिया गया है कि वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।

मान लीजिए कि $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$ सभी $x \in R$ के लिए एक अवकलनीय फलन है। तो $f(x)$ बराबर है ..... .

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$ $(x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ का हल है,जहाँ $y(0) = 1$ है। तो

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{\sqrt{2}y}{2\cos^4 x - \cos 2x} = x e^{\tan^{-1}(\sqrt{2} \cot 2x)}$,$0 < x < \pi/2$ का हल है,जहाँ $y(\pi/4) = \pi^2/32$ है। यदि $y(\pi/3) = \frac{\pi^2}{18} e^{-\tan^{-1}(\alpha)}$ है,तो $3\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए।