परवलय y^2 = 4x की अभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात | vedclass

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Question

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a=1$) के लिए प्राचल $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है,जिसे $y + tx = 2t + t^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।

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$8\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a=1$) के लिए प्राचल $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है,जिसे $y + tx = 2t + t^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।इस अभिलंब की ढाल $-t$ है। दिया गया है कि अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $	an(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।अतः,$-t = 1$,जिससे $t = -1$ प्राप्त होता है।बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at) = (1, -2)$ हैं।यदि $t_1$ पर अभिलंब परवलय को पुनः $t_2$ पर मिलता है,तो $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ होता है।$t_1 = -1$ रखने पर,हमें $t_2 = -(-1) - \frac{2}{-1} = 1 + 2 = 3$ प्राप्त होता है।बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (3^2, 2(3)) = (9, 6)$ हैं।अभिलंब जीवा $PQ$ की लंबाई बिंदु $P(1, -2)$ और $Q(9, 6)$ के बीच की दूरी है:$PQ = \sqrt{(9-1)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.

परवलय $y^2 = 4x$ की अभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए,जो $x$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है:

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