ધારો કે $f(x)$ એ $[0, 2]$ માં વિકલનીય વિધેય છે,$f(0) = 0$ અને $f'(x) \le \frac{1}{2}$ દરેક $x \in [0, 2]$ માટે. તો:

ધારો કે $f(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત અને $(1, 2)$ પર વિકલનીય વિધેય છે,જે $f(1) = 2, f(2) = 3$ અને $f'(x) \geq 1$ (બધા $x \in (1, 2)$ માટે) નું પાલન કરે છે. જો $g(x) = \int_1^x f(t) \, dt$ (બધા $x \in [1, 2]$ માટે) હોય,તો $[1, 2]$ પર $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

અંતરાલ $[0, \pi]$ માં વિધેય $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ માટે રોલના પ્રમેય મુજબ $c$ નું મૂલ્ય શું છે?

નીચેનામાંથી કયા વિધેય માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે?

જો $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે,તો:

ધારો કે $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ એ સતત વિધેયો છે જે અંતરાલ $(-1,2)$ પર બે વાર વિકલનીય છે. $f$ અને $g$ ના બિંદુઓ $-1, 0$ અને $2$ પરના મૂલ્યો નીચેના કોષ્ટકમાં આપ્યા મુજબ છે:

$x$	$x=-1, 0, 2$
$f(x)$	$3, 6, 0$
$g(x)$	$0, 1, -1$

દરેક અંતરાલ $(-1,0)$ અને $(0,2)$ માં વિધેય $(f-3g)^{\prime \prime}$ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી. તો સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0) \cup (0,2)$ માં બરાબર ત્રણ ઉકેલો છે
$(B)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0)$ માં બરાબર એક ઉકેલ છે
$(C)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(0,2)$ માં બરાબર એક ઉકેલ છે
$(D)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ ને $(-1,0)$ માં બરાબર બે ઉકેલો અને $(0,2)$ માં બરાબર બે ઉકેલો છે