ધારો કે f(x) એ [1, 2] પર સતત અને (1, 2) પર વિ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $f(x)$ માટે અંતરાલ $[1, x]$ પર લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ નો ઉપયોગ કરતા:$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c_1) \geq 1 \implies f(x) - 2 \geq

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5}{2}$

Vedclass · Answer

(C) $f(x)$ માટે અંતરાલ $[1, x]$ પર લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ નો ઉપયોગ કરતા:$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c_1) \geq 1 \implies f(x) - 2 \geq x - 1 \implies f(x) \geq x + 1$.અંતરાલ $[x, 2]$ પર $LMVT$ નો ઉપયોગ કરતા:$\frac{f(2) - f(x)}{2 - x} = f'(c_2) \geq 1 \implies 3 - f(x) \geq 2 - x \implies f(x) \leq x + 1$.આમ,$f(x) \geq x + 1$ અને $f(x) \leq x + 1$ હોવાથી,$f(x) = x + 1$ મળે.હવે,$g(x) = \int_1^x (t + 1) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} + t \right]_1^x = \frac{x^2}{2} + x - \frac{3}{2}$.અહીં $g'(x) = f(x) = x + 1 > 0$ હોવાથી $g(x)$ વધતું વિધેય છે.તેથી,$[1, 2]$ પર $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $g(2) = \int_1^2 (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_1^2 = (2 + 2) - (0.5 + 1) = \frac{5}{2}$ થાય.

Similar Questions

જો $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી હોય કે જેથી $a + b + c = 0$ થાય,તો દ્વિઘાત સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ને

જો વિધેય $f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ માં રોલ (Rolle's) પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય અને $f'(2) = 0$ હોય, તો $a - b$ ની કિંમત શોધો:

વિધેય $f(x) = x(x+3)(x-2)$ માટે અંતરાલ $[-1, 4]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f$ એ બધા $x$ માટે વિકલનીય છે. જો $f(1) = -2$ અને $x \in [1, 6]$ માટે $f'(x) \geq 2$ હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module