ધારો કે $a = \text{Minimum} \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ અને $b = \lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}$. તો $\sum_{r = 0}^n a^r \cdot b^{n - r}$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $A$ એ $2 \times 2$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે અને $I$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. જો સમીકરણ $|A-xI|=0$ ના બીજ $-1$ અને $3$ હોય,તો શ્રેણિક $A^2$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $..............$ છે.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$. તો, સમીકરણ $\operatorname{det}(A - \lambda I_{3}) = 0$ (જ્યાં $I_{3}$ એ $3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે) ના બીજ શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$. ધારો કે $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ એ $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ ના બીજ છે, જ્યાં $I_{3}$ એ એકમ શ્રેણિક દર્શાવે છે. જો $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = \sqrt{2} + 1$ હોય, તો $-\pi \leq t < \pi$ માટે $t$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ કયો છે?

જો $A$ અને $B$ બે શ્રેણિકો એવા હોય કે જેથી $AB = B$ અને $BA = A$ થાય, તો $A^{2} + B^{2}$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ એક શ્રેણિક છે. આ શ્રેણિક $P$ ના ત્રણ ઘટકો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. $A$ એ ત્રણ ઘટકોનો સરવાળો એકી હોય તેવી ઘટના છે. $B$ એ હાર અથવા સ્તંભમાં રહેલા ત્રણ ઘટકો પસંદ કરવાની ઘટના છે. તો $P(A) + P(A|B) =$?