मान लीजिए a = text{Minimum} {x^2 + 2x + 3, x | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $a = \min \{x^2 + 2x + 3 : x \in R\}$।चूंकि $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$,इसलिए न्यूनतम मान $a = 2$ है।दिया गया है $b = \lim_{	heta

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$\frac{4^{n + 1} - 1}{3 \cdot 2^n}$

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(C) दिया गया है $a = \min \{x^2 + 2x + 3 : x \in R\}$।चूंकि $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$,इसलिए न्यूनतम मान $a = 2$ है।दिया गया है $b = \lim_{	heta 	o 0} \frac{1 - \cos 	heta}{	heta^2}$।सीमा सूत्र $\lim_{	heta 	o 0} \frac{1 - \cos 	heta}{	heta^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $b = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अब,योग $\sum_{r=0}^{n} a^r \cdot b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^r \cdot (\frac{1}{2})^{n-r}$ का मूल्यांकन करते हैं।$= \sum_{r=0}^{n} 2^r \cdot 2^{r-n} = \sum_{r=0}^{n} 2^{2r-n} = 2^{-n} \sum_{r=0}^{n} 4^r$।यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $n+1$ पद हैं,प्रथम पद $1$ है और सार्व अनुपात $4$ है।योग $= 2^{-n} \cdot \frac{4^{n+1} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^n}$।

मान लीजिए $a = \text{Minimum} \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ और $b = \lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}$. तो $\sum_{r = 0}^n a^r \cdot b^{n - r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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