मान लीजिए A = begin{bmatrix} 1 & a & a 0 & 1 | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $A = I + B$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & a & a \ 0 & 0 & b

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$24$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $A = I + B$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & a & a \ 0 & 0 & b \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & ab \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B^3 = 0$ प्राप्त होता है।द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$A^n = (I + B)^n = I + nB + \frac{n(n-1)}{2} B^2$.$A^n = \begin{bmatrix} 1 & na & na + \frac{n(n-1)ab}{2} \ 0 & 1 & nb \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.दिए गए आव्यूह के साथ तुलना करने पर: $na = 48$,$nb = 96$,और $na + \frac{n(n-1)ab}{2} = 2160$.$na = 48$ और $nb = 96$ से $b = 2a$ प्राप्त होता है।तीसरे समीकरण में मान रखने पर: $48 + \frac{n(n-1)a(2a)}{2} = 2160 \Rightarrow n(n-1)a^2 = 2112$.$a = \frac{48}{n}$ रखने पर,$n(n-1)(\frac{48}{n})^2 = 2112 \Rightarrow (n-1) \frac{2304}{n} = 2112 \Rightarrow 192n = 2304 \Rightarrow n = 12$.अतः $a = 4$ और $b = 8$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$n + a + b = 12 + 4 + 8 = 24$.

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ मान लीजिए $y(x)=\cos \left(3 \cos ^{-1} x\right), x \in[-1,1], x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. तब $\frac{1}{y(x)}\left\{\left(x^2-1\right) \frac{d^2 y(x)}{d x^2}+x \frac{d y(x)}{d x}\right\}$ बराबर है	$1. \ 1$
$Q.$ मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_n(n>2)$ मूल बिंदु पर केंद्र वाले $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्ष हैं। मान लीजिए $\vec{a}_k$ बिंदु $A_k, k=1,2, \ldots, n$ का स्थिति सदिश है। यदि $\left\|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}\right)\right\|=\left\|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}\right)\right\|$,तो $n$ का न्यूनतम मान है	$2. \ 2$
$R.$ यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ पर बिंदु $P(h, 1)$ से अभिलंब रेखा $x+y=8$ के लंबवत है,तो $h$ का मान है	$3. \ 8$
$S.$ समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 x+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4 x+1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{x^2}\right)$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक हलों की संख्या है	$4. \ 9$

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