ધારો કે f એ વિકલનીય વિધેય છે જે f(xy) = xf(y) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ છે. $xy$ વડે ભાગતા: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$. ધારો કે $g(x) = \fra

Vedclass · Accepted Answer

$f(x) = x \ln x + 2x$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ છે. $xy$ વડે ભાગતા: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$. ધારો કે $g(x) = \frac{f(x)}{x}$. તો $g(xy) = g(x) + g(y) - 2$. ધારો કે $h(x) = g(x) - 2$. તો $h(xy) + 2 = h(x) + 2 + h(y) + 2 - 2$,જે $h(xy) = h(x) + h(y)$ માં પરિણમે છે. આ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,તેથી $h(x) = c \ln x$. આમ,$\frac{f(x)}{x} - 2 = c \ln x$,અથવા $f(x) = cx \ln x + 2x$. આપેલ છે કે $f'(x) = c \ln x + c + 2$. $x = 1$ આગળ,$f'(1) = c(0) + c + 2 = 3$,તેથી $c = 1$. તેથી,$f(x) = x \ln x + 2x$. વિકલ્પો તપાસતા,$f(x) = x \ln x + 2x$ એ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

Similar Questions

જો $f(10-x)=3x^2+4x-5$ અને $f(x)=px^2+qx+r$ હોય,તો $p+q+r$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a, b, c \in \mathbb{R}$. જો $f(x) = ax^2 + bx + c$ એવું હોય કે $a + b + c = 3$ અને $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy, \forall x, y \in \mathbb{R}$,તો $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ ની કિંમત શોધો:

જો $f: R-\{0\} \rightarrow R$ એ $3 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{2-x}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય, તો $f(3)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module