मान लीजिए f : [0,1] to R इस प्रकार है कि सभी | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x)f(y)$ है,जहाँ $x, y \in [0, 1].$$y = 0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(x)f(0)$ प्राप्त होता है.चूँकि $f(0) 
e 0,$ हम $f(

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(B) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x)f(y)$ है,जहाँ $x, y \in [0, 1].$$y = 0$ रखने पर,हमें $f(0) = f(x)f(0)$ प्राप्त होता है.चूँकि $f(0) 
e 0,$ हम $f(0)$ से विभाजित कर सकते हैं,जिससे $f(x) = 1$ प्राप्त होता है,सभी $x \in [0, 1]$ के लिए.अब,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x) = 1$ है.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y = x + c$ प्राप्त होता है.प्रारंभिक शर्त $y(0) = 1$ का उपयोग करने पर,$1 = 0 + c,$ अतः $c = 1.$इस प्रकार,फलन $y(x) = x + 1$ है.हमें $y\left( \frac{1}{4} ight) + y\left( \frac{3}{4} ight)$ का मान ज्ञात करना है.$y\left( \frac{1}{4} ight) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.$$y\left( \frac{3}{4} ight) = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}.$अतः,$y\left( \frac{1}{4} ight) + y\left( \frac{3}{4} ight) = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} = \frac{12}{4} = 3.$

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