मान लीजिए [x],x से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा | vedclass

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Question

(A) हम सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{	an (\pi {{\sin }^2}x) + (\left| x ight| - \sin (x[x]))^2}}{{{x^2}}}$ का मूल्यांकन करते है

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अस्तित्व में नहीं है

Vedclass · Answer

(A) हम सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{	an (\pi {{\sin }^2}x) + (\left| x ight| - \sin (x[x]))^2}}{{{x^2}}}$ का मूल्यांकन करते हैं।सबसे पहले,पद $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{	an (\pi {{\sin }^2}x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \left( \frac{{	an (\pi {{\sin }^2}x)}}{{\pi {{\sin }^2}x}} \cdot \frac{{\pi {{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} ight) = 1 \cdot \pi \cdot 1^2 = \pi$ पर विचार करें।अब दूसरे पद पर विचार करें: $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{(\left| x ight| - \sin (x[x]))^2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \left( \frac{{\left| x ight| - \sin (x[x])}}{{\left| x ight|}} ight)^2$ (चूंकि $x^2 = |x|^2$ है)।$x 	o 0^+$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0^+} \left( 1 - \frac{{\sin (x \cdot 0)}}{x} ight)^2 = (1 - 0)^2 = 1$ है।$x 	o 0^-$ के लिए,$[x] = -1$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0^-} \left( 1 - \frac{{\sin (-x)}}{{-x}} ight)^2 = (1 - 1)^2 = 0$ है।चूंकि बाईं ओर की सीमा $(0)$ दाईं ओर की सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

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