ધારો કે $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ ક્રમના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે. જો $\det(ABA^T) = 8$ અને $\det(AB^{-1}) = 8$ હોય,તો $\det(BA^{-1}B^T)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 11 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & 2 \\ 7 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ છે. $|P^{-1}AP - 2I|$ ના અવિભાજ્ય અવયવોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $A$ અને $B$ કોઈપણ બે $n \times n$ શ્રેણિકો છે જેથી નીચેની શરતો સંતોષાય છે: $A B=B A$ અને એવા ધન પૂર્ણાંકો $k$ અને $l$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $A^k=I$ (એકમ શ્રેણિક) અને $B^l=0$ (શૂન્ય શ્રેણિક) થાય. તો,

શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc} 1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right]$ ના નિશ્ચાયકનું મહત્તમ મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે સંખ્યાઓ $2, b, c$ એ $A.P.$ માં છે અને $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & b & c \\ 4 & b^2 & c^2 \end{bmatrix}$ છે. જો $\det(A) \in [2, 16]$ હોય,તો $c$ કયા અંતરાલમાં આવે છે?

ધારો કે $A = (a_{ij})$ એ $n \times n$ શ્રેણિક છે જે $a_{ij} = \begin{cases} k^i, & \forall i=j \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જો $m = \text{trace of } A$ અને $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n-m}{1-k} = 171$ હોય, તો $n$ ની કિંમત શોધો: