मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण xfrac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$ है। $x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \ln x$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{d

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$\frac{e}{4}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$ है। $x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \ln x$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \ln x$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है। व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है। $y \cdot x = \int (\ln x) \cdot x dx + C$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$. अतः,$xy = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$. दिया है $2y(2) = \ln 4 - 1$,इसलिए $y(2) = \frac{\ln 4 - 1}{2}$. $x=2$ रखने पर: $2y(2) = \frac{2^2}{2} \ln 2 - \frac{2^2}{4} + C \implies \ln 4 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$. चूँकि $\ln 4 = 2 \ln 2$,इसलिए $2 \ln 2 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$. अतः,$y = \frac{x}{2} \ln x - \frac{x}{4}$. $x = e$ के लिए,$y(e) = \frac{e}{2} \ln e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$.

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$,$(x > 1)$ का हल है। यदि $2y(2) = \ln 4 - 1$ है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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