ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ xfrac{dy}{dx} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$ છે. $x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \ln x$ મળે. આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{e}{4}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$ છે. $x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \ln x$ મળે. આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \ln x$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ છે. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે. $y \cdot x = \int (\ln x) \cdot x dx + C$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$. તેથી,$xy = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$. આપેલ છે કે $2y(2) = \ln 4 - 1$,તેથી $y(2) = \frac{\ln 4 - 1}{2}$. $x=2$ મુકતા: $2y(2) = \frac{2^2}{2} \ln 2 - \frac{2^2}{4} + C \implies \ln 4 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$. $\ln 4 = 2 \ln 2$ હોવાથી,$2 \ln 2 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$. આમ,$y = \frac{x}{2} \ln x - \frac{x}{4}$. $x = e$ માટે,$y(e) = \frac{e}{2} \ln e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$,$(x > 1)$ નો ઉકેલ છે. જો $2y(2) = \ln 4 - 1$ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિકલનીય વિધેય છે. જો તમામ $x \ge 1$ માટે $6 \int_{1}^{x} f(t) dt = 3xf(x) + x^{3} - 4$ હોય, તો $f(2) - f(3)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વિકલનીય છે જેથી $f(1)=1$,અને દરેક $x>0$ માટે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે. તો $f(x)$ શું છે?

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(xy-5x^2\sqrt{1+x^2})dx+(1+x^2)dy=0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=0$ છે. તો $y(\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module