ધારો કે એક વક્ર y = y(x) બિંદુ (3,3) માંથી પસ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $3$ થી $x$ સુધીના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $\int_{3}^{x} y(t) dt = \left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ છે.કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કર

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $3$ થી $x$ સુધીના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $\int_{3}^{x} y(t) dt = \left(\frac{y}{x}ight)^{3}$ છે.કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$y = \frac{d}{dx} \left( \frac{y^3}{x^3} ight) = \frac{3y^2 y' x^3 - 3x^2 y^3}{x^6} = \frac{3y^2 y' x - 3y^3}{x^4}$.$x^4$ વડે ગુણતા:$x^4 y = 3xy^2 y' - 3y^3$.$y$ વડે ભાગતા ($y 
eq 0$ ધારીને):$x^4 = 3xy y' - 3y^2$.ધારો કે $t = y^2$,તો $dt/dx = 2y y'$. આ કિંમત મૂકતા:$x^4 = \frac{3}{2} x \frac{dt}{dx} - 3t$.રેખીય વિકલ સમીકરણમાં ગોઠવતા:$\frac{dt}{dx} - \frac{2}{x} t = \frac{2}{3} x^3$.ઇન્ટિગ્રેટિંગ ફેક્ટર $IF = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ છે.$IF$ વડે ગુણતા:$\frac{d}{dx} \left( \frac{t}{x^2} ight) = \frac{2}{3} x$.બંને બાજુ સંકલન કરતા:$\frac{t}{x^2} = \frac{x^2}{3} + C$.વક્ર $(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=3$ પર $t = 3^2 = 9$:$\frac{9}{9} = \frac{9}{3} + C \implies 1 = 3 + C \implies C = -2$.તેથી,$\frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2}{3} - 2$.બિંદુ $(\alpha, 6\sqrt{10})$ માટે:$\frac{(6\sqrt{10})^2}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2}{3} - 2 \implies \frac{360}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 - 6}{3}$.$1080 = \alpha^4 - 6\alpha^2 \implies \alpha^4 - 6\alpha^2 - 1080 = 0$.ધારો કે $u = \alpha^2$: $u^2 - 6u - 1080 = 0 \implies (u - 36)(u + 30) = 0$.$\alpha^2 > 0$ હોવાથી,$u = 36$,તેથી $\alpha = 6$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે. $(x \neq 0)$

વિકલ સમીકરણ $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતો અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયા બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$ નો ઉકેલ શોધો.

આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2xy = y$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module