(0,1) બિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{dy}{dx} = x + xy$.આને $\frac{dy}{dx} - xy =

Vedclass · Accepted Answer

$y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$

Vedclass · Answer

(A) વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{dy}{dx} = x + xy$.આને $\frac{dy}{dx} - xy = x$ તરીકે લખી શકાય.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -x$ અને $Q = x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx + C$.ધારો કે $t = -\frac{x^2}{2}$,તો $dt = -x dx$,તેથી $x dx = -dt$.આમ,$\int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx = -\int e^t dt = -e^t = -e^{-\frac{x^2}{2}}$.આ કિંમત પાછી મૂકતા,$y e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + C$.$e^{-\frac{x^2}{2}}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = -1 + C e^{\frac{x^2}{2}}$ મળે છે.વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:$1 = -1 + C e^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$.તેથી,વક્રનું સમીકરણ $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$; જ્યારે $x = \frac{\pi}{3}$ ત્યારે $y = 0$.

વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}+8 \frac{d y}{d x}+16 y=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$r dx + (x - r^2) dr = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module