बिंदु (0,1) से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण | vedclass

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Question

(A) वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।प्रश्न के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = x + xy$ है।इसे $\frac{dy}

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$y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$

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(A) वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।प्रश्न के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = x + xy$ है।इसे $\frac{dy}{dx} - xy = x$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्रकार का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -x$ और $Q = x$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx + C$ है।माना $t = -\frac{x^2}{2}$,तो $dt = -x dx$,इसलिए $x dx = -dt$ है।अतः,$\int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx = -\int e^t dt = -e^t = -e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।इस मान को वापस रखने पर,$y e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + C$ प्राप्त होता है।$e^{-\frac{x^2}{2}}$ से भाग देने पर,हमें $y = -1 + C e^{\frac{x^2}{2}}$ प्राप्त होता है।चूँकि वक्र $(0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:$1 = -1 + C e^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$ है।अतः,वक्र का समीकरण $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ है।

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