मान लीजिए कि एक वक्र y = y(x) बिंदु (3,3) से | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $3$ से $x$ तक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल $\int_{3}^{x} y(t) dt = \left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ है।कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके

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(C) दिया गया है कि $3$ से $x$ तक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल $\int_{3}^{x} y(t) dt = \left(\frac{y}{x}ight)^{3}$ है।कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$y = \frac{d}{dx} \left( \frac{y^3}{x^3} ight) = \frac{3y^2 y' x^3 - 3x^2 y^3}{x^6} = \frac{3y^2 y' x - 3y^3}{x^4}$.$x^4$ से गुणा करने पर:$x^4 y = 3xy^2 y' - 3y^3$.$y$ से भाग देने पर ($y 
eq 0$ मानते हुए):$x^4 = 3xy y' - 3y^2$.मान लीजिए $t = y^2$,तो $dt/dx = 2y y'$. यह मान रखने पर:$x^4 = \frac{3}{2} x \frac{dt}{dx} - 3t$.रैखिक अवकल समीकरण में व्यवस्थित करने पर:$\frac{dt}{dx} - \frac{2}{x} t = \frac{2}{3} x^3$.समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ है।$IF$ से गुणा करने पर:$\frac{d}{dx} \left( \frac{t}{x^2} ight) = \frac{2}{3} x$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\frac{t}{x^2} = \frac{x^2}{3} + C$.चूंकि वक्र $(3,3)$ से गुजरता है,$x=3$ पर $t = 3^2 = 9$:$\frac{9}{9} = \frac{9}{3} + C \implies 1 = 3 + C \implies C = -2$.अतः,$\frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2}{3} - 2$.बिंदु $(\alpha, 6\sqrt{10})$ के लिए:$\frac{(6\sqrt{10})^2}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2}{3} - 2 \implies \frac{360}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 - 6}{3}$.$1080 = \alpha^4 - 6\alpha^2 \implies \alpha^4 - 6\alpha^2 - 1080 = 0$.मान लीजिए $u = \alpha^2$: $u^2 - 6u - 1080 = 0 \implies (u - 36)(u + 30) = 0$.चूंकि $\alpha^2 > 0$,इसलिए $u = 36$,अतः $\alpha = 6$.

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