अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + 2y = x^2 का हल क | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करने के लिए $x$ से विभाजित करने पर: $\fra

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$y = \frac{x^4 + C}{4x^2}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करने के लिए $x$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ यहाँ,$P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$ अवकल समीकरण को $I$.$F$. $(x^2)$ से गुणा करने पर: $x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy = x^3$ इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d}{dx}(y \cdot x^2) = x^3$ दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y \cdot x^2 = \int x^3 dx$ $y \cdot x^2 = \frac{x^4}{4} + C$ $x^2$ से विभाजित करने पर: $y = \frac{x^4 + 4C}{4x^2}$ चूंकि $4C$ एक स्वैच्छिक स्थिरांक है,इसे $C$ के रूप में लिखा जा सकता है: $y = \frac{x^4 + C}{4x^2}$

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का हल क्या है?

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अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

माना $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in(0, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x)=2-\frac{f(x)}{x}$ और $f(1) \neq 1$ है। तो

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=2(y+2 \sin x-5)x-2 \cos x$ का हल है,जहाँ $y(0)=7$ है। तो $y(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$ का हल है

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