ધારો કે f:[1, infty) rightarrow mathbb{R} એક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સમીકરણ: $6 \int_1^x f(t) dt = 3xf(x) + x^3 - 4$.$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:$6f(x) = 3f(x) + 3xf'(x) + 3x^2$.સમીકરણનું સાદું રૂપ આ

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સમીકરણ: $6 \int_1^x f(t) dt = 3xf(x) + x^3 - 4$.$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:$6f(x) = 3f(x) + 3xf'(x) + 3x^2$.સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:$3f(x) = 3xf'(x) + 3x^2$.$3$ વડે ભાગતા:$f(x) = xf'(x) + x^2$.આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ $f'(x) - \frac{1}{x}f(x) = -x$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ છે.$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{x}f'(x) - \frac{1}{x^2}f(x) = -1$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{f(x)}{x} = -x + C$.તેથી, $f(x) = -x^2 + Cx$.$x=1$ આગળ, મૂળ સમીકરણ મુજબ $6 \int_1^1 f(t) dt = 3(1)f(1) + 1^3 - 4$, જે સૂચવે છે કે $0 = 3f(1) - 3$, તેથી $f(1) = 1$.$f(1)=1$ ને $f(x) = -x^2 + Cx$ માં મૂકતા: $1 = -1 + C$, તેથી $C = 2$.આમ, $f(x) = -x^2 + 2x$.હવે, $f(2) = -(2)^2 + 2(2) = 0$ અને $f(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$.તેથી, $f(2) - f(3) = 0 - (-3) = 3$.

ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિકલનીય વિધેય છે. જો તમામ $x \ge 1$ માટે $6 \int_{1}^{x} f(t) dt = 3xf(x) + x^{3} - 4$ હોય, તો $f(2) - f(3)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

રેખીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) એ કયા વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 3x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y(x)$ એ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy - 4x^{2} = 0$ અને $y(0) = -1$ નો ઉકેલ છે. તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module