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Question

(D) दिया गया समीकरण: $6 \int_1^x f(t) dt = 3xf(x) + x^3 - 4$.$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$6f(x) = 3f(x) + 3xf'(x) + 3x^2$.समीकरण को स

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$3$

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(D) दिया गया समीकरण: $6 \int_1^x f(t) dt = 3xf(x) + x^3 - 4$.$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$6f(x) = 3f(x) + 3xf'(x) + 3x^2$.समीकरण को सरल करने पर:$3f(x) = 3xf'(x) + 3x^2$.$3$ से भाग देने पर:$f(x) = xf'(x) + x^2$.इसे रैखिक अवकल समीकरण $f'(x) - \frac{1}{x}f(x) = -x$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{x}f'(x) - \frac{1}{x^2}f(x) = -1$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{f(x)}{x} = -x + C$.अतः, $f(x) = -x^2 + Cx$.$x=1$ पर, मूल समीकरण से $6 \int_1^1 f(t) dt = 3(1)f(1) + 1^3 - 4$, जिससे प्राप्त होता है $0 = 3f(1) - 3$, इसलिए $f(1) = 1$.$f(1)=1$ को $f(x) = -x^2 + Cx$ में रखने पर: $1 = -1 + C$, इसलिए $C = 2$.इस प्रकार, $f(x) = -x^2 + 2x$.अब, $f(2) = -(2)^2 + 2(2) = 0$ और $f(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$.अतः, $f(2) - f(3) = 0 - (-3) = 3$.

मान लीजिए कि $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है। यदि सभी $x \ge 1$ के लिए $6 \int_{1}^{x} f(t) dt = 3xf(x) + x^{3} - 4$ है, तो $f(2) - f(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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